동치관계(同値關係, Equivalence Relation)는 수학, 특히 일반 위상수학과 집합론, 대수학 등 다양한 분야에서 핵심적인 개념 중 하나이다. 이는 집합 원소들 사이에 어떤 기준에 따라 "서로 같다고 볼 수 있는" 관계를 형식적으로 정의하는 도구로, 수학적 구조를 이해하고 분류하는 데 중요한 역할을 한다. 위상수학에서는 동치관계를 통해 위상 공간을 분할하고, 몫공간(quotient space)을 구성하는 데 사용된다.
이 문서에서는 동치관계의 정의, 성질, 예시, 응용, 그리고 위상수학에서의 의미를 중심으로 설명한다.
정의
집합 ( X ) 위의 이항관계(binary relation) ( \sim )가 다음 세 조건을 만족할 때, 이를 동치관계라고 한다:
- 반사성(Reflexivity): 모든 ( x \in X )에 대해 ( x \sim x )이다.
- 대칭성(Symmetry): 모든 ( x, y \in X )에 대해 ( \sim y )이면 ( y \sim x )이다.
- 추이성(Transitivity): 모든 ( x, y, z \in X )에 대해 ( x \sim y )이고 ( y \sim z )이면 ( x \sim z )이다.
이 세 가지 성질을 동시에 만족하는 관계는 집합 ( X )를 서로 겹치지 않는 동치류(equivalence class)로 분할할 수 있게 해준다.
동치류
주어진 동치관계 ( \sim )에 대해, 원소 ( x \in X )의 동치류는 다음과 같이 정의된다:
[
[x] = { y \in X \mid y \sim x }
]
즉, ( x )와 동치인 모든 원소들의 집합이다. 이 동치류들은 다음의 성질을 가진다:
- 모든 ( x \in X )는 자신이 속한 동치류 ( [x] )에 포함된다.
- 두 동치류 ( [x] )와 ( [y] )는 서로 같거나 서로소(disjoint)이다.
- 집합 ( X )는 모든 동치류의 서로소 합집합으로 표현된다.
몫집합
동치관계 ( \sim )에 의해 형성된 모든 동치류들의 집합을 몫집합(quotient set)이라 하고, ( X / \sim )로 표기한다:
[
X / \sim = { [x] \mid x \in X }
]
이 몫집합은 원래 집합 ( X )를 더 간단한 구조로 요약한 것으로 볼 수 있다.
예시
1. 정수에서의 합동관계
정수 집합 ( \mathbb{Z} ) 위에서, 어떤 정수 ( n )에 대해 다음과 같은 관계를 정의하자:
[
a \sim b \iff a - b \text{는 } n \text{의 배수}
]
이 관계는 반사성, 대칭성, 추이성을 모두 만족하므로 동치관계이며, 이를 모듈러 ( n ) 합동(modulo ( n ) congruence)이라고 한다. 이 경우 각 동치류는 ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} )의 원소이며, 위상수학에서는 이와 유사한 아이디어로 원주(圓周, circle)를 실수선의 몫공간으로 표현할 수 있다.
2. 위상공간에서의 경로 동치
두 점 ( x, y )가 위상공간 ( X ) 내에서 경로로 연결될 수 있을 때, 즉 연속함수 ( f: [0,1] \to X )가 존재하여 ( f(0) = x ), ( f(1) = y )일 때, ( x \sim y )로 정의하면 이는 동치관계이다. 이 관계의 동치류를 경로 연결 성분(path-connected component)이라 한다.
두 위상공간 ( X )와 ( Y ) 사이에 위상동형사상(연속, 전단사, 역함수도 연속)이 존재하면 ( X \sim Y )라 정의할 수 있다. 이는 위상공간의 집합 위에서 동치관계를 정의하며, 이를 통해 위상적 성질을 기준으로 공간들을 분류할 수 있다.
위상수학에서의 응용
동치관계는 몫위상(quotient topology)을 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다.
몫위상공간
집합 ( X )가 위상공간이고, ( \sim )가 ( X ) 위의 동치관계일 때, 몫집합 ( X / \sim )에 다음과 같이 위상을 정의할 수 있다:
열린집합 ( U \subseteq X / \sim )는 그 원상(precimage) ( \pi^{-1}(U) )가 ( X )에서 열린집합일 때이다. 여기서 ( \pi: X \to X / \sim )는 자연스러운 사영 사상 ( \pi(x) = [x] )이다.
이렇게 정의된 위상을 몫위상(quotient topology)이라 하고, ( (X / \sim, \text{quotient topology}) )를 몫공간(quotient space)이라 한다.
예: 원주 ( S^1 )의 구성
실수선 ( \mathbb{R} ) 위에서 동치관계 ( x \sim y \iff x - y \in \mathbb{Z} )를 정의하면, 몫공간 ( \mathbb{R} / \sim )는 원주 ( S^1 )와 위상동형이다. 이는 주기적 구조를 수학적으로 모델링하는 대표적인 예이다.
관련 개념
- 분할(Partition): 동치관계는 집합의 분할과 일대일대응한다. 즉, 집합을 서로소인 부분집합으로 나누는 모든 분할은 유일한 동치관계를 유도한다.
- 사상과 동치관계: 함수 ( f: X \to Y )는 ( x_1 \sim x_2 \iff f(x_1) = f(x_2) )로 동치관계를 유도하며, 이는 ( X / \sim \cong \text{im}(f) )를 가능하게 한다.
- 범주론적 관점: 동치관계는 범주론에서 보편 성질(universal property)을 가지며, 몫사상은 특정 보편성을 만족하는 사상으로 정의된다.
참고 자료
- Munkres, James R. Topology. 2nd Edition. Prentice Hall, 2000.
- Lee, John M. Introduction to Topological Manifolds. Springer, 2011.
- Halmos, Paul R. Naive Set Theory. Springer, 1960.
관련 문서
동치관계는 수학 전반에서 구조를 이해하고 분류하는 데 필수적인 도구이며, 특히 위상수학에서는 공간의 변형과 연결성을 체계적으로 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다.
# 동치관계
동치관계(同値關係, Equivalence Relation)는 수학, 특히 **일반 위상수학**과 **집합론**, **대수학** 등 다양한 분야에서 핵심적인 개념 중 하나이다. 이는 집합 원소들 사이에 어떤 기준에 따라 "서로 같다고 볼 수 있는" 관계를 형식적으로 정의하는 도구로, 수학적 구조를 이해하고 분류하는 데 중요한 역할을 한다. 위상수학에서는 동치관계를 통해 위상 공간을 분할하고, 몫공간(quotient space)을 구성하는 데 사용된다.
이 문서에서는 동치관계의 정의, 성질, 예시, 응용, 그리고 위상수학에서의 의미를 중심으로 설명한다.
---
## 정의
집합 \( X \) 위의 **이항관계**(binary relation) \( \sim \)가 다음 세 조건을 만족할 때, 이를 **동치관계**라고 한다:
1. **반사성**(Reflexivity): 모든 \( x \in X \)에 대해 \( x \sim x \)이다.
2. **대칭성**(Symmetry): 모든 \( x, y \in X \)에 대해 \( \sim y \)이면 \( y \sim x \)이다.
3. **추이성**(Transitivity): 모든 \( x, y, z \in X \)에 대해 \( x \sim y \)이고 \( y \sim z \)이면 \( x \sim z \)이다.
이 세 가지 성질을 동시에 만족하는 관계는 집합 \( X \)를 서로 겹치지 않는 **동치류**(equivalence class)로 분할할 수 있게 해준다.
---
## 동치류와 몫집합
### 동치류
주어진 동치관계 \( \sim \)에 대해, 원소 \( x \in X \)의 **동치류**는 다음과 같이 정의된다:
\[
[x] = \{ y \in X \mid y \sim x \}
\]
즉, \( x \)와 동치인 모든 원소들의 집합이다. 이 동치류들은 다음의 성질을 가진다:
- 모든 \( x \in X \)는 자신이 속한 동치류 \( [x] \)에 포함된다.
- 두 동치류 \( [x] \)와 \( [y] \)는 서로 같거나 서로소(disjoint)이다.
- 집합 \( X \)는 모든 동치류의 서로소 합집합으로 표현된다.
### 몫집합
동치관계 \( \sim \)에 의해 형성된 모든 동치류들의 집합을 **몫집합**(quotient set)이라 하고, \( X / \sim \)로 표기한다:
\[
X / \sim = \{ [x] \mid x \in X \}
\]
이 몫집합은 원래 집합 \( X \)를 더 간단한 구조로 요약한 것으로 볼 수 있다.
---
## 예시
### 1. 정수에서의 합동관계
정수 집합 \( \mathbb{Z} \) 위에서, 어떤 정수 \( n \)에 대해 다음과 같은 관계를 정의하자:
\[
a \sim b \iff a - b \text{는 } n \text{의 배수}
\]
이 관계는 반사성, 대칭성, 추이성을 모두 만족하므로 동치관계이며, 이를 **모듈러 \( n \) 합동**(modulo \( n \) congruence)이라고 한다. 이 경우 각 동치류는 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)의 원소이며, 위상수학에서는 이와 유사한 아이디어로 원주(圓周, circle)를 실수선의 몫공간으로 표현할 수 있다.
### 2. 위상공간에서의 경로 동치
두 점 \( x, y \)가 위상공간 \( X \) 내에서 **경로로 연결될 수 있을 때**, 즉 연속함수 \( f: [0,1] \to X \)가 존재하여 \( f(0) = x \), \( f(1) = y \)일 때, \( x \sim y \)로 정의하면 이는 동치관계이다. 이 관계의 동치류를 **경로 연결 성분**(path-connected component)이라 한다.
### 3. 위상동형관계
두 위상공간 \( X \)와 \( Y \) 사이에 위상동형사상(연속, 전단사, 역함수도 연속)이 존재하면 \( X \sim Y \)라 정의할 수 있다. 이는 위상공간의 집합 위에서 동치관계를 정의하며, 이를 통해 위상적 성질을 기준으로 공간들을 분류할 수 있다.
---
## 위상수학에서의 응용
동치관계는 **몫위상**(quotient topology)을 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다.
### 몫위상공간
집합 \( X \)가 위상공간이고, \( \sim \)가 \( X \) 위의 동치관계일 때, 몫집합 \( X / \sim \)에 다음과 같이 위상을 정의할 수 있다:
> 열린집합 \( U \subseteq X / \sim \)는 그 원상(precimage) \( \pi^{-1}(U) \)가 \( X \)에서 열린집합일 때이다. 여기서 \( \pi: X \to X / \sim \)는 자연스러운 사영 사상 \( \pi(x) = [x] \)이다.
이렇게 정의된 위상을 **몫위상**(quotient topology)이라 하고, \( (X / \sim, \text{quotient topology}) \)를 **몫공간**(quotient space)이라 한다.
### 예: 원주 \( S^1 \)의 구성
실수선 \( \mathbb{R} \) 위에서 동치관계 \( x \sim y \iff x - y \in \mathbb{Z} \)를 정의하면, 몫공간 \( \mathbb{R} / \sim \)는 원주 \( S^1 \)와 위상동형이다. 이는 주기적 구조를 수학적으로 모델링하는 대표적인 예이다.
---
## 관련 개념
- **분할**(Partition): 동치관계는 집합의 분할과 일대일대응한다. 즉, 집합을 서로소인 부분집합으로 나누는 모든 분할은 유일한 동치관계를 유도한다.
- **사상과 동치관계**: 함수 \( f: X \to Y \)는 \( x_1 \sim x_2 \iff f(x_1) = f(x_2) \)로 동치관계를 유도하며, 이는 \( X / \sim \cong \text{im}(f) \)를 가능하게 한다.
- **범주론적 관점**: 동치관계는 범주론에서 보편 성질(universal property)을 가지며, 몫사상은 특정 보편성을 만족하는 사상으로 정의된다.
---
## 참고 자료
- Munkres, James R. *Topology*. 2nd Edition. Prentice Hall, 2000.
- Lee, John M. *Introduction to Topological Manifolds*. Springer, 2011.
- Halmos, Paul R. *Naive Set Theory*. Springer, 1960.
---
## 관련 문서
- [위상공간](위상공간.md)
- [몫위상](몫위상.md)
- [위상동형사상](위상동형사상.md)
- [집합론](집합론.md)
동치관계는 수학 전반에서 구조를 이해하고 분류하는 데 필수적인 도구이며, 특히 위상수학에서는 공간의 변형과 연결성을 체계적으로 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다.